A non-linear second-order stochastic model of ocean surface waves

− This paper deals first with the mathematical formulation of a non-linear second-order stochastic model of free irrotational ocean surface wave on deep water. Then, the case of wave motion of zero bandwidth is treated to illustrate the model. On the basis of the usual hydrodynamic equations, the formulation is made by successive applications of the harmonic decomposition and the so-called Wiener-Hermite functional series expansion of random functions. This procedure yields the kernels equations. These kernels allow to obtain the random surface wave fields from the Wiener set of elementary random processes. For the particular case cited above, as expected, the second-order non-linearity results in the generation of a second harmonic component of the fundamental component. The corresponding realisations of the random variations of the water surface deflection level exhibit close similarity with data from laboratory experiments. The potentiality of the approach for modelling a wide class of random oceanic processes is stressed. © 2001 Ifremer/CNRS/IRD/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Résumé − Modèle non linéaire du second ordre d’ondes de surfaces océaniques. Cet article concerne en premier lieu la formulation mathématique d’un modèle non linéaire, du second ordre, d’ondes de surface océaniques aléatoires, sur profondeur infinie. Ensuite, le cas d’un champ d’ondes de largeur de bande nulle est traité pour illustrer la potentialité du modèle. Sur la base des équations usuelles de l’hydrodynamique, la formulation est effectuée en faisant appel successivement à la décomposition harmonique puis aux développement fonctionnel en série dit de « Wiener-Hermite » des fonctions aléatoires. Cette procédure conduit aux équations aux noyaux. Ceux-ci caractérisent la transformation qui permet d’obtenir les champs d’ondes de surface à partir de l’ensemble des processus aléatoires élémentaires de Wiener-Hermite. Pour le cas particulier cité précédemment, on constate que la non linéarité conduit à la génération d’une composante harmonique du deuxième ordre de l’onde fondamentale. Les échantillons de variations du niveau de la surface libre, construits d’après le modèle, montrent des similitudes frappantes avec les échantillons issus d’expériences en laboratoire. L’intérêt de la méthode pour modéliser une large classe de phénomènes océaniques aléatoires est mis en relief. © 2001 Ifremer/CNRS/IRD/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Fourier-Stiltjes decomposition / kernels equations / oceanic surface waves / random functions / Wiener-Hermite functional series représentation de Fourier-Stieltjes / équations aux noyaux / ondes de surface océaniques / fonctions aléatoires / série fonctionnelle de Wiener-Hermite